数学毕业论文答辩陈述

各位老师好。我叫李明。我的论文题目是《线性代数中矩阵特征值计算方法的数值稳定性研究》。我的指导老师是王教授。现在我开始汇报论文的主要内容。

我选择这个题目是因为矩阵特征值计算很重要。它在工程和科学中有很多用途。结构力学里需要算振动频率。量子力学里需要算能级。图像处理里也有用。特征值算得准不准很关键。计算结果是近似值。计算机做运算有舍入误差。不同的算法效果不一样。有的算法误差小。有的算法误差会变大。研究数值稳定性就是为了找到可靠的方法。

我的论文主要做了三件事。第一件事是分析了三种常见算法。我分析了幂法。我分析了QR算法。我分析了雅可比方法。我比较了它们的原理。我比较了它们的计算步骤。我比较了它们的优缺点。幂法适合算最大特征值。它很简单。但收敛可能慢。QR算法适合算全部特征值。它通常很有效。雅可比方法适合对称矩阵。它精度高但计算量大。

第二件事是我设计了数值实验。我用计算机程序实现了这些算法。我用了MATLAB软件。我构造了不同的测试矩阵。我用了随机的矩阵。我用了希尔伯特矩阵。这种矩阵是病态的。小扰动会引起大变化。我用了对称矩阵。我用了非对称矩阵。我记录了计算结果。我记录了计算时间。我记录了误差大小。误差是和理论值比较的。理论值是用高精度工具算的。

第三件事是我分析了实验结果。我观察了舍入误差的传播。幂法在矩阵接近退化时不稳定。迭代向量会出问题。QR算法通常很稳定。但对于病态矩阵特征向量不准。雅可比方法的误差总是很小。但它的计算时间很长。我发现矩阵条件数很重要。条件数大的矩阵问题难。算法容易不稳定。我验证了算法的收敛性理论。我的实验数据和理论预测基本一致。

论文的创新点有两个方面。一方面我改进了幂法的迭代过程。我加入了重新正交化的步骤。这防止了向量方向丢失。实验显示改进后稳定性提高了。特别是对于近似重复的特征值情况。另一方面我系统比较了算法在不同硬件上的表现。我在个人电脑和工作站上做了测试。浮点运算单元的差异会影响结果。这对于实际应用有参考价值。

写论文过程中我遇到了困难。理论推导部分很难。特别是误差分析的部分。我需要学习很多数值分析的定理。王老师给了我很多帮助。他帮我理清了思路。编程实验部分也不容易。我要让程序正确运行。我要设计有效的测试案例。我读了很多英文文献。我学习了别人的方法。我做了很多次尝试。最后我完成了计划的工作。

我的论文有不足之处。我研究的算法种类不够多。我只重点看了三种方法。还有别的算法值得研究。比如分治法。比如Lanczos方法。我的实验矩阵规模不够大。受计算机内存限制。我只算到一千阶的矩阵。更大的矩阵可能有新问题。我的误差分析还可以深化。可以考虑更多类型的扰动。这些是将来可以继续做的工作。

论文的结论是清楚的。选择算法要看矩阵特点。对称矩阵用雅可比方法好。要算全部特征值用QR算法好。幂法简单但要注意使用条件。数值稳定性是实际计算的生命线。理论研究指导算法设计。实验验证支持理论发现。这个研究对科学计算有帮助。

我的汇报完了。谢谢各位老师。请老师们提问。