不等式证明是数学学习的重要内容。许多方法常被使用。这些方法基于基本事实。掌握它们能解决很多问题。

比较法是基础的方法。我们比较两个式子的大小。作差比较常用。计算A减B的结果。结果大于零则A大于B。结果等于零则A等于B。结果小于零则A小于B。作商比较也可用。计算A除以B的商。A和B是正数时，商大于一则A大于B。商等于一则A等于B。商小于一则A小于B。例子：证明a²加b²大于等于2ab。计算差：a²加b²减2ab等于(a减b)²。(a减b)²总是大于等于零。所以a²加b²大于等于2ab。这个方法很直接。

综合法是从已知条件出发。利用已知定理推导出结论。定理包括平均值不等式。平均值不等式说：对非负数，算术平均值不小于几何平均值。即(a加b)/2大于等于根号ab。还有柯西不等式。平方和的乘积不小于积的和的平方。即(a₁²加a₂²)(b₁²加b₂²)大于等于(a₁b₁加a₂b₂)²。这些定理可以直接使用。例子：已知x和y是正数，证明(x加y)(1/x加1/y)大于等于4。左边展开得1加x/y加y/x加1。即2加x/y加y/x。平均值不等式知x/y加y/x大于等于2。所以整个式子大于等于4。综合法依赖定理记忆。

分析法是从结论出发。寻找结论成立的条件。逐步推导到已知事实。每一步都是上一步的充分条件。例子：证明根号a加根号b大于根号(a加b)，其中a和b为正数。要证此式，两边平方得a加b加2根号ab大于a加b。即证2根号ab大于0。这显然成立。分析法适合思考难题。

放缩法是巧妙的方法。通过放大或缩小式子来证明。放缩需要谨慎。必须保证方向正确。常见技巧是舍去一些正项使式子变小。或增加一些正项使式子变大。例子：证明1加1/2²加1/3²加到1/n²小于2。注意到当k大于1时，1/k²小于1/(k(k减1))。后者等于1/(k减1)减1/k。于是原式小于1加(1减1/2)加(1/2减1/3)加到(1/(n减1)减1/n)。抵消后得2减1/n。这小于2。放缩法需要观察和尝试。

数学归纳法证明与自然数有关的不等式。第一步验证n取最小值时成立。第二步假设n等于k时命题成立。以此为基础证明n等于k加1时命题也成立。两步完成则命题对所有自然数成立。例子：证明1加1/根号2加1/根号3加到1/根号n大于根号n。n等于1时左边1大于根号1等于1成立。假设n等于k时不等式成立。考虑n等于k加1。左边增加一项1/根号(k加1)。需证原和加此项大于根号(k加1)。由归纳假设，原和大于根号k。只需证根号k加1/根号(k加1)大于根号(k加1)。通分比较可证此式成立。归纳法步骤固定。

构造函数法利用函数性质。将不等式视为函数关系。用导数判断单调性。用极值求最值。例子：证明x大于0时，x减1大于等于lnx。设f(x)等于x减1减lnx。求导得f'(x)等于1减1/x。当x大于1时导数正，函数增。当x在0到1间导数负，函数减。x等于1是极小值点。f(1)等于0。所以f(x)大于等于0恒成立。原不等式得证。函数法在微积分中常用。

反证法从结论反面出发。假设不等式不成立。推导出与已知条件的矛盾。从而证明原不等式必须成立。例子：已知a加b大于0，证明a和b中至少有一个大于0。假设结论不成立。即a和b都不大于0。那么a小于等于0且b小于等于0。相加得a加b小于等于0。这与已知a加b大于0矛盾。所以假设错误。原命题成立。反证法适合存在性命题。

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《不等式入门》是一本基础书。它解释比较法和综合法。例子简单易懂。适合初学者。书中包含练习。

《常用不等式》收集了重要结论。它列出柯西不等式。它列出平均值不等式。它列出排序不等式。每个不等式有证明。证明方法多样。这本书是工具书。

《数学分析中的不等式》涉及函数方法。它用导数证明不等式。它讲积分不等式。内容较深。适合大学生。

《奥数不等式精选》针对竞赛学生。它介绍放缩技巧。它介绍归纳法变体。它有很多难题。解答详细。

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学习不等式证明需要练习。从简单问题开始。使用比较法。使用综合法。慢慢尝试分析法。尝试放缩法。做归纳法练习。结合函数思想。思考反证法。多读参考书。多看例题。自己动手做。才能掌握这些方法。