递推数列极限的研究毕业论文和递推数列极限研究论文内容
递推数列就是一组数字。这组数字按照一定规则排列。第一个数字是已知的。后面的数字由前面的数字决定。比如知道第一个数字。第二个数字由第一个数字算出。第三个数字由第二个数字算出。以此类推。数列的极限研究很重要。数学分析经常讨论这个问题。实际生活也有应用。计算机科学需要它。物理学也用到它。
递推数列的形式很简单。a₁是第一个数。a₂是第二个数。aₙ是第n个数。aₙ₊₁是第n 1个数。递推关系写为aₙ₊₁=f(aₙ)。f是一个函数。它表示计算规则。数列可能收敛。数列可能发散。收敛意味着数列趋向一个固定值。发散意味着数列不趋向固定值。极限就是那个固定值。
研究数列极限需要方法。单调有界原理是常用方法。数列单调增加。数列单调减少。数列有上界。数列有下界。那么数列收敛。这个原理很实用。证明数列收敛时经常使用。
举个例子。a₁=1。aₙ₊₁=√(2 aₙ)。计算前几项。a₁=1。a₂=√(2 1)=√3≈1.732。a₃=√(2 1.732)≈1.932。a₄≈1.983。a₅≈1.995。数列在增加。数列始终小于2。单调有界原理说明数列收敛。极限是2。验证一下。设极限为L。那么L=√(2 L)。解方程L²=2 L。L²-L-2=0。(L-2)(L 1)=0。L=2或L=-1。数列是正数。所以L=2。
另一个例子。a₁=1。aₙ₊₁=1 1/aₙ。计算前几项。a₁=1。a₂=1 1/1=2。a₃=1 1/2=1.5。a₄≈1.666。a₅≈1.6。a₆≈1.625。数列在摆动。但它收敛。极限是黄金比例φ≈1.618。验证一下。设极限为L。L=1 1/L。L²=L 1。L²-L-1=0。L=(1 √5)/2≈1.618。
递推数列可能不收敛。a₁=1。aₙ₊₁=aₙ 1。计算一下。a₁=1。a₂=2。a₃=3。a₄=4。数列越来越大。没有极限。这是发散情况。
另一种发散。a₁=1。aₙ₊₁=-aₙ。计算一下。a₁=1。a₂=-1。a₃=1。a₄=-1。数列在1和-1之间跳动。没有极限。
函数f的性质影响收敛。f是连续函数。数列收敛到L。那么L是方程L=f(L)的解。这个点叫做不动点。不动点可能稳定。不动点可能不稳定。稳定意味着数列靠近它时趋向它。不稳定意味着数列靠近它时远离它。
导数判断稳定性。|f'(L)|