傅里叶变换是一种数学方法。它可以把信号从时间域变到频率域。时间域就是信号随着时间变化的样子。频率域就是信号由哪些频率组成。傅里叶变换很重要。它在信号处理领域应用广泛。通信系统需要它。音频处理需要它。图像处理也需要它。本论文通过仿真研究傅里叶变换。仿真使用计算机软件完成。计算机软件是MATLAB。MATLAB适合做数学计算。它也能画图显示结果。

信号有很多种。正弦信号是常见的信号。正弦信号有频率。它有幅度。它还有相位。三个参数决定一个正弦信号。合成信号由多个正弦信号相加得到。复杂信号看起来没有规律。但它可能由多个简单正弦信号组成。傅里叶变换可以找出这些组成成分。这就是频谱分析。频谱表示信号包含的频率成分。频谱还表示每个频率的强度。

仿真第一步是生成信号。生成一个正弦信号。设置信号的频率。设置信号的采样率。采样率是每秒钟采集多少个点。采样率必须足够高。采样定理要求采样率大于信号最高频率的两倍。采样率太低会产生混叠。混叠会导致频率分析错误。生成了一个10赫兹的正弦信号。采样率设置为1000赫兹。信号持续时间1秒。时间向量从0到1秒。时间间隔是1/1000秒。正弦信号由sin函数产生。幅度设置为1。相位设置为0。这个信号是干净的。没有噪声干扰。

对生成的信号做傅里叶变换。MATLAB有fft函数。fft是快速傅里叶变换算法。它计算离散傅里叶变换。fft计算速度快。它要求信号长度是2的幂次。不是2的幂次也可以计算。效率可能低一点。信号长度是1000点。fft计算结果是一个复数向量。复数包含幅度和相位信息。通常我们关心幅度。取绝对值得到幅度谱。幅度谱表示每个频率分量的强度。频率轴需要计算。频率范围从0到采样率的一半。奈奎斯特频率是采样率的一半。频率分辨率为采样率除以信号长度。这里频率分辨率是1赫兹。

观察幅度谱。幅度谱有一个峰值。峰值在10赫兹位置。峰值幅度为0.5。为什么是0.5？因为傅里叶变换的系数需要缩放。实际幅度应该是峰值乘以2。另一个峰值在990赫兹。990赫兹是10赫兹的镜像频率。采样信号频谱是周期性的。频谱在奈奎斯特频率处对称。我们通常只看前半部分。前半部分从0到奈奎斯特频率。这个例子验证了傅里叶变换的正确性。它正确找到了信号的频率。

第二个仿真使用多个频率合成信号。信号包含两个正弦波。第一个频率20赫兹。第二个频率50赫兹。幅度都是1。相位都是0。采样率还是1000赫兹。信号长度1秒。做fft计算。看幅度谱。幅度谱有两个峰值。一个在20赫兹。一个在50赫兹。峰值高度都是0.5。两个频率成分被正确分离。傅里叶变换可以分析复合信号。

实际信号常有噪声。噪声是随机的。它覆盖很多频率。加噪声到干净信号。先生成30赫兹正弦信号。然后加入随机噪声。MATLAB用randn函数产生高斯白噪声。噪声幅度设置为0.5。信号变得粗糙。不再光滑。时域波形有毛刺。对这个含噪信号做fft。幅度谱显示30赫兹处有峰值。峰值周围有小的起伏。这些起伏是噪声贡献的。噪声在整个频带都有能量。峰值仍然可见。信噪比高时峰值明显。信噪比低时峰值可能被淹没。傅里叶变换可以用于噪声中的信号检测。

信号长度影响频率分辨率。信号短则频率分辨率低。信号长则频率分辨率高。生成一个15赫兹正弦信号。第一个信号长度0.1秒。采样率1000赫兹。做fft。频率分辨率10赫兹。幅度谱峰值较宽。峰值覆盖多个频率点。第二个信号长度1秒。频率分辨率1赫兹。幅度谱峰值很尖。峰值集中在15赫兹。频率分辨率取决于信号持续时间。长时间信号提供高频率分辨率。

泄漏是另一个问题。信号截断产生泄漏。理想情况信号无限长。实际只能处理有限长信号。截断相当于乘一个矩形窗。矩形窗在信号长度内为1。窗外为0。矩形窗的频谱是sinc函数。sinc函数有主瓣和旁瓣。卷积导致频谱扩散。单一频率会扩散成一片。这就是频谱泄漏。例子：正弦信号频率25赫兹。信号长度不是整数倍周期。截断导致能量泄漏到其他频率。幅度谱显示主峰周围有旁瓣。旁瓣幅度逐渐减小。

加窗可以减少泄漏。矩形窗旁瓣高。其他窗函数旁瓣低。汉宁窗是常用窗函数。汉宁窗两端平滑降到零。中间凸起。对信号加汉宁窗。再做fft。幅度谱旁瓣明显降低。主峰宽度增加。这是代价。加窗牺牲分辨率换取泄漏减少。选择窗函数需要权衡。不同窗有不同特性。矩形窗分辨率最高但泄漏大。汉宁窗泄漏小但分辨率低。根据应用需求选择窗函数。

傅里叶变换用于调制解调。调制把低频信号搬到高频。调幅是简单调制方式。载波是高频正弦波。调制信号是低频信号。调幅波幅度随调制信号变化。解调可以从调幅波恢复调制信号。仿真一个调幅信号。载波频率100赫兹。调制信号频率5赫兹。调幅波包络形状与调制信号相同。对调幅波做fft。频谱有三个峰值。载波频率100赫兹。边带频率95赫兹和105赫兹。边带包含调制信号信息。解调可以通过检波实现。检波取出包络。包络就是调制信号。

傅里叶变换也用于滤波。滤波去除不需要的频率成分。低通滤波器通过低频阻挡高频。高通滤波器相反。带通滤波器通过一个频带。设计一个数字滤波器。滤波器系数通过计算得到。对信号做fft。将频率域相乘。高频部分设为零。再做逆傅里叶变换。得到滤波后的信号。逆傅里叶变换从频率域变回时间域。MATLAB用ifft函数。滤波后信号高频噪声被去除。信号变得平滑。这种方法称为频域滤波。

图像是二维信号。图像有空间频率。傅里叶变换可以用于图像。二维傅里叶变换计算图像频谱。低频对应平滑区域。高频对应边缘和细节。读入一张灰度图像。图像是二维矩阵。矩阵元素是像素值。做二维fft。得到二维频谱。频谱中心是低频。外围是高频。显示频谱需要对数缩放。因为动态范围太大。对图像进行低通滤波。在频率域乘一个低通掩模。掩模中心为1。外围为0。逆变换回到图像空间。图像变得模糊。细节减少。高通滤波相反。保留边缘去除平坦区域。图像变成轮廓图。

傅里叶变换有局限性。它假设信号是平稳的。平稳信号统计特性不随时间变。实际信号常常非平稳。语音信号是非平稳的。频率成分随时间变化。短时傅里叶变换处理非平稳信号。短时傅里叶变换加窗分段。每段信号做傅里叶变换。得到时频谱。时频谱显示频率如何随时间变化。窗长度影响时频分辨率。长窗频率分辨率高时间分辨率低。短窗时间分辨率高频率分辨率低。不确定性原理存在。不能同时获得高时间分辨率和高频率分辨率。

仿真短时傅里叶变换。生成一个线性调频信号。频率从低到高线性变化。做短时傅里叶变换。使用MATLAB的spectrogram函数。设置窗长度。设置重叠点数。得到时频谱。时频谱显示频率随时间线性增加。验证了信号特性。短时傅里叶变换适合分析缓慢变化的非平稳信号。

计算复杂度是实际问题。直接计算离散傅里叶变换很慢。点数N需要N平方次运算。fft算法将计算量降到NlogN。N大时节省很多时间。现代数字系统依赖fft。实时处理成为可能。仿真比较直接计算和fft的时间。信号长度从100到10000。直接计算时间增长很快。fft时间增长缓慢。信号越长fft优势越大。

这些仿真展示了傅里叶变换的基本应用。信号生成、频谱分析、噪声影响、分辨率、泄漏、加窗、调制解调、滤波、图像处理、非平稳信号分析、计算效率。通过仿真可以直观理解傅里叶变换。仿真帮助验证理论。仿真也帮助解决实际问题。傅里叶变换是强大的工具。它揭开了信号的频率域世界。