解析几何是数学的一个分支。解析几何用代数方法研究几何问题。坐标是解析几何的基础。平面直角坐标系最常见。两条数轴互相垂直。交点叫做原点。水平轴是x轴。垂直轴是y轴。平面上每个点对应一个数对。数对表示点的位置。点A的坐标记作（x，y）。x是横坐标。y是纵坐标。

直线是简单的几何图形。两点确定一条直线。直线方程有几种形式。点斜式很常用。已知一点和斜率可以用点斜式。斜截式更直接。y=kx b就是斜截式。k是斜率。b是纵截距。两点式需要两个点的坐标。一般式Ax By C=0包含所有直线。

圆是常见的曲线。圆的标准方程是(x-a)² (y-b)²=r²。（a，b）是圆心坐标。r是半径。知道圆心和半径就能写出方程。圆的一般方程需要三个参数。展开标准方程得到一般式。

椭圆是重要的圆锥曲线。椭圆有两个焦点。椭圆上点到两焦点距离之和是常数。这个常数大于焦距。椭圆标准方程有两种。焦点在x轴上时方程是x²/a² y²/b²=1。a是长半轴。b是短半轴。c是半焦距。它们满足a²=b² c²。焦点在y轴上时方程形式类似。

双曲线也是圆锥曲线。双曲线有两个分支。双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值是常数。双曲线标准方程有两种形式。焦点在x轴上时方程是x²/a²-y²/b²=1。a是实半轴。b是虚半轴。c是半焦距。它们满足c²=a² b²。双曲线有渐近线。渐近线方程是y=±(b/a)x。

抛物线是另一类圆锥曲线。抛物线有一个焦点。抛物线有一条准线。抛物线上点到焦点距离等于到准线距离。抛物线标准方程有四种形式。开口向右时方程是y²=2px。p是焦参数。p大于零。焦点坐标是(p/2，0)。准线方程是x=-p/2。

坐标变换是重要工具。平移变换常用。坐标系平移不改变图形形状。新原点在旧坐标系中坐标是(h，k)。点旧坐标(x，y)与新坐标(x'，y')满足x=x' h，y=y' k。旋转变换也常用。坐标系旋转角度θ。点旧坐标(x，y)与新坐标(x'，y')满足x=x'cosθ-y'sinθ，y=x'sinθ y'cosθ。

参数方程表示曲线。参数是第三变量。参数方程用参数表示点的坐标。直线的参数方程简单。x=x0 at，y=y0 bt。t是参数。(x0，y0)是直线上一点。(a，b)是方向向量。圆的参数方程常用。x=a rcosθ，y=b rsinθ。θ是参数。表示圆心角。

极坐标系是另一种坐标系。极坐标系用距离和角度定位点。极点相当于直角坐标系原点。极轴是正方向。点的极坐标是(ρ，θ)。ρ是极径。θ是极角。极坐标与直角坐标可以互换。x=ρcosθ，y=ρsinθ。ρ²=x² y²，tanθ=y/x。

曲线方程可以互相转化。直角坐标方程转极坐标方程。用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入。极坐标方程转直角坐标方程。用ρ²=x² y²，tanθ=y/x代入。有些曲线极坐标方程更简单。圆的极坐标方程是ρ=r。直线的极坐标方程可能是ρcosθ=a。

空间解析几何研究三维图形。空间直角坐标系需要三根轴。x轴，y轴，z轴互相垂直。空间点坐标是(x，y，z)。空间直线方程复杂些。一般用参数方程或对称式。空间平面方程类似直线。点法式常用。已知一点和法向量就能写出方程。

曲面方程表示曲面。球面方程是(x-a)² (y-b)² (z-c)²=R²。(a，b，c)是球心。R是半径。柱面方程缺少一个变量。例如x² y²=R²表示圆柱面。旋转曲面由曲线旋转生成。曲线绕坐标轴旋转得到旋转曲面。

二次曲面是重要曲面。椭球面方程是x²/a² y²/b² z²/c²=1。a，b，c是半轴长。单叶双曲面方程是x²/a² y²/b²-z²/c²=1。双叶双曲面方程是x²/a²-y²/b²-z²/c²=1。椭圆抛物面方程是x²/a² y²/b²=2pz。双曲抛物面方程是x²/a²-y²/b²=2pz。

曲线积分是解析几何的应用。第一类曲线积分对弧长积分。第二类曲线积分对坐标积分。格林公式联系曲线积分与二重积分。斯托克斯公式是格林公式的推广。高斯公式联系曲面积分与三重积分。这些公式在物理中广泛应用。

解析几何在工程中用处很大。机械设计需要曲线方程。建筑设计中用到曲面方程。计算机图形学依赖坐标变换。机器人运动学用到空间几何。航天轨道计算需要圆锥曲线。地质勘探使用坐标定位。地图绘制依靠投影变换。

解析几何与微积分关系密切。切线斜率是导数。曲线弧长用积分计算。曲面面积需要二重积分。曲线曲率描述弯曲程度。几何问题可以用微积分解决。微分几何是解析几何的发展。

解析几何继续发展。计算几何是新的分支。计算机帮助解决几何问题。数字图像处理用到坐标变换。三维建模需要空间几何。虚拟现实依赖图形算法。解析几何原理仍然重要。

学习解析几何要理解概念。掌握基本公式很重要。多做练习有帮助。画图可以加深理解。实际应用能提高兴趣。数学思维需要培养。解析几何是基础课程。