微积分的故事从很久以前开始。人们很早就想算图形的面积。古埃及人量土地。他们需要知道面积。古希腊人做了很多工作。阿基米德想出了巧妙的方法。他算出了抛物线的面积。他的方法有点像后来的积分。但是他的方法不够一般。他用起来很麻烦。

时间过了很多年。人们的问题越来越多。科学家研究星星的运动。他们需要知道速度。他们需要知道路程。伽利略观察物体下落。他发现速度越来越快。速度变化怎么描述？路程怎么算？这是一个难题。开普勒研究行星轨道。行星绕太阳转。轨道是椭圆。行星的速度时刻在变。怎么算它扫过的面积？怎么预测它的位置？这些问题都需要新数学。

十七世纪来了。科学革命开始了。有两颗明亮的星星出现。一颗是牛顿。一颗是莱布尼茨。牛顿在英国。他思考力与运动。他想知道瞬时速度。一个物体动的很快。它的速度是变化的。比如苹果从树上掉下来。掉下来的越来越快。怎么知道某一刻的速度？牛顿想出了流数法。他把变化看作流动的量。他叫它们“流量”。流量的变化率他叫“流数”。这就是导数。他研究面积怎么算。面积是很多细条加起来。细条无限窄。这就是积分。牛顿发现了它们之间的联系。面积的变化率是曲线本身。这就是微积分基本定理。太美妙了。牛顿用这个工具研究宇宙。他解释了行星的运动。他写了《自然哲学的数学原理》。但他很久没有发表他的方法。他怕争论。

莱布尼茨在德国。他是哲学家也是数学家。他独立想出了微积分。他思考切线问题。他想算一条曲线的切线。他发明了微分符号。他用了“dx”和“dy”。这些符号很好用。他也想到了积分。他用拉长的S表示求和。就是积分号“∫”。莱布尼茨的符号很清晰。他系统地发表了文章。微积分一下子传开了。谁先发明的？后来吵得很厉害。英国数学家支持牛顿。欧洲大陆用莱布尼茨的符号。历史证明莱布尼茨的符号更好。我们今天用的dx，dy，∫都是他的。

微积分的基础不牢固。什么是“无穷小”？牛顿和莱布尼茨说不清楚。无穷小是一个量。它比零大，又比任何正数小。这很奇怪。贝克莱主教嘲笑它。他叫无穷小是“消失的量的幽灵”。微积分有用。但它的逻辑有问题。这刺激了很多人。他们想把微积分建在牢固基础上。

十八世纪的数学家大胆用微积分。他们不管基础问题。他们用微积分解决大量问题。欧拉是伟大的数学家。他写了厚厚的书。他研究函数。他把微积分用到各种地方。他算出了许多漂亮的公式。拉格朗日试图用级数定义导数。他想绕开无穷小。但他没有完全成功。

到了十九世纪，严格化的时候到了。柯西走出了关键一步。他给出了极限的定义。他用极限定义导数和积分。无穷小被放弃了。他说一个量趋向一个固定值。这个值就是极限。导数就是差商的极限。积分就是求和的极限。魏尔斯特拉斯更严格。他用ε-δ语言说清楚了极限。他的语言很精确。没有模糊的地方。微积分终于有了坚实基石。黎曼改进了积分定义。他说的更清楚。什么样的函数可以积分？他给出了条件。这就是黎曼积分。后来还有勒贝格积分。那是二十世纪的事了。

微积分从此成为科学的语言。物理学用它。牛顿力学是微积分的世界。麦克斯韦方程组是微分方程。爱因斯坦的广义相对论也是。工程学离不开它。造桥造房子要算力。算力就要用微分方程。经济学也用。边际分析就是导数。生物学也用。种群增长用微分方程描述。医学里药物浓度变化也用。计算机出现以后。微积分有了新伙伴。数值计算可以解很难的方程。计算机图形学也算切线和面积。

微积分还在发展。新的分支出现了。比如泛函分析。比如微分几何。这些是高等的数学。但它们的思想根源很简单。还是变化和积累。还是切线和面积。牛顿和莱布尼茨的洞察力是光。这光照亮了科学的路。我们今天学习微积分。我们学极限。我们学求导。我们学积分。我们做很多习题。我们可能觉得难。但想想它的历史。它是很多人智慧的结晶。它帮助我们理解变化的世界。从星星的运动到手机的信号。从疾病的传播到股票的涨跌。微积分在那里。它是看不见的工具。它是描述宇宙变化的字母。