数学在生活中很重要。数学帮助我们解决问题。数学专业的学生需要写毕业论文。毕业论文中经常使用模型解题。模型解题就是用数学工具解决实际问题。这种方法很有效。我们来看一个简单的例子。

一个人开了一家小店。小店卖两种商品。商品A和商品B。商品A每个赚一元。商品B每个赚两元。小店每天只能进一定数量的货。仓库空间有限。商品A需要一平方米。商品B需要两平方米。仓库总共十平方米。每天进货总时间不能超过八小时。商品A每个需要一小时处理。商品B每个需要两小时处理。我们想找到最好的进货方式。这样赚钱最多。

我们设商品A进货x个。商品B进货y个。赚钱的总数是Z。Z等于x加二y。我们希望Z越大越好。但有一些限制。仓库空间限制。x加二y小于等于十。时间限制。x加二y小于等于八。另外x和y不能是负数。x大于等于零。y大于等于零。

这是一个典型的线性规划问题。线性规划是数学模型的一种。我们画出这些限制。横轴是x。纵轴是y。x加二y小于等于十是一条直线。我们先画x加二y等于十。当x等于零时y等于五。当y等于零时x等于十。连接点(0,5)和点(10,0)。这条线下面的区域满足空间限制。x加二y小于等于八是另一条直线。当x等于零时y等于四。当y等于零时x等于八。连接点(0,4)和点(8,0)。这条线下面的区域满足时间限制。还有x大于等于零。y大于等于零。所以我们只看第一象限。

现在找满足所有条件的区域。这个区域是多边形。多边形的顶点是可能的解。我们检查每个顶点。点(0,0)。Z等于零加零等于零。点(0,4)。Z等于零加八等于八。点(2,3)。怎么找到这个点。解方程x加二y等于八和x加二y等于十。但这里两条线平行。不对。空间限制是x加二y小于等于十。时间限制是x加二y小于等于八。时间限制更严格。所以实际限制是x加二y小于等于八。x和y非负。所以顶点有(0,0)、(0,4)、(8,0)。但(8,0)时空间需要八平方米。满足十平方米。但时间需要八小时。刚好。但Z等于八加零等于八。点(0,4)时Z等于八。点(0,0)时Z等于零。但这里可能漏了点。时间限制是x加二y小于等于八。空间限制是x加二y小于等于十。因为时间限制更紧。所以有效区域是x加二y小于等于八。x大于等于零。y大于等于零。所以顶点只有(0,0)、(0,4)、(8,0)。但(0,4)时空间需要零加八等于八。满足十。时间需要零加八等于八。满足。(8,0)时空间需要八。时间需要八。都满足。但Z最大是八。在(0,4)和(8,0)都是八。但如果我们取(2,3)呢。x等于二。y等于三。空间需要二加六等于八。满足十。时间需要二加六等于八。满足。Z等于二加六等于八。一样。所以最大是八。但问题是我们可能想找整数解。但这里都是整数。所以没问题。

但如果我们改变条件呢。假设商品A每个赚两元。商品B每个赚一元。那么Z等于二x加y。在点(0,4)时Z等于零加四等于四。在点(8,0)时Z等于十六加零等于十六。所以最好进八个商品A。零个商品B。赚钱十六元。这样模型就帮助我们找到了最佳方案。

数学模型可以更复杂。比如涉及更多变量。更多限制。但思想是一样的。找到目标函数。找到限制条件。然后求解。求解方法有很多。比如单纯形法。单纯形法是常用的方法。它通过移动在多边形的顶点上找到最优解。计算机可以处理很大规模的线性规划。

数学模型中还有概率模型。比如预测天气。天气预报用概率模型。根据历史数据。计算明天下雨的概率。概率是零到一之间的数。零表示不可能。一表示肯定。零点五表示一半可能。我们收集很多数据。温度、湿度、风速等。然后建立模型。模型可能很复杂。但原理是简单的。我们找变量之间的关系。

另一个例子是传染病模型。比如流感传播。我们把人分成三类。易感者、感染者、康复者。易感者可能被感染。感染者会传染别人。康复者不会再次感染。我们设S表示易感者人数。I表示感染者人数。R表示康复者人数。总人数N等于S加I加R。模型假设每天每个感染者会感染β个人。但只有易感者会被感染。所以新感染者等于β乘S乘I除以N。因为接触是随机的。同时感染者会康复。康复率是γ。所以每天康复人数是γI。那么S每天减少新感染者。I每天增加新感染者减少康复者。R每天增加康复者。我们用方程表示。dS/dt等于负βSI/N。dI/dt等于βSI/N减γI。dR/dt等于γI。这是一个微分方程模型。我们可以解这个方程。或者用计算机模拟。通过调整β和γ。我们可以预测疫情发展。政府可以根据模型采取措施。比如减少β。通过戴口罩、社交距离。这样感染人数会减少。

数学模型中还有统计模型。比如预测股票价格。股票价格变化很多。我们收集历史价格。计算平均值、标准差。平均值是平均价格。标准差是价格波动大小。我们假设价格服从正态分布。然后计算未来价格在某个范围内的概率。但股票价格不完全是随机的。它有趋势。我们可以用回归模型。回归模型找变量之间的关系。比如股票价格和时间的关系。可能价格随时间增加。但可能有其他因素。比如公司盈利、经济形势。我们收集这些数据。建立方程。价格等于a乘盈利加b乘时间加c。a、b、c是参数。我们需要估计这些参数。用最小二乘法。最小二乘法找到参数使得预测误差最小。误差是实际价格减预测价格。然后平方。求和。最小化这个和。这样得到最佳拟合。

数学专业的学生在毕业论文中可能研究这些模型。他们可能改进模型。比如在传染病模型中考虑年龄结构。年轻人感染率更高。或者考虑空间因素。城市和农村传播速度不同。他们可能写代码模拟。比较模型和实际数据。验证模型的好坏。如果模型预测不准。就需要调整模型。可能加入新变量。可能改变假设。

数学模型在工程中也很常用。比如建桥。需要计算桥梁的承重。材料有应力应变关系。应力是单位面积上的力。应变是变形程度。胡克定律说应力等于弹性模量乘应变。弹性模量是材料常数。我们建立方程。求解在负载下的变形。确保变形在安全范围内。如果负载太大。桥梁可能倒塌。所以模型很重要。

另一个例子是优化运输成本。公司有多个仓库。多个商店。需要从仓库运货到商店。每个仓库有库存。每个商店有需求。运输成本取决于距离。我们找运输方案使得总成本最低。这又是线性规划问题。设x_{ij}表示从仓库i到商店j的运量。成本是c_{ij}乘x_{ij}。总和是总成本。限制是每个仓库运出不超过库存。每个商店运入满足需求。x_{ij}非负。然后求解。有专门算法解决这种问题。

数学模型在计算机科学中也有用。比如网络流量。互联网数据包传输。路由器需要决定路径。路径可能拥堵。我们需要最大化总流量。限制是链路容量。这又是线性规划。或者图论问题。

学生写毕业论文时。需要选择具体问题。阅读相关文献。了解现有模型。然后提出自己的方法。可能简化模型。可能改进算法。可能应用新领域。他们需要写代码实现。运行实验。分析结果。得出结论。

写作时要注意清晰。用简单语言解释思想。避免不必要的术语。如果使用术语。需要定义。图表有帮助。显示数据或结果。参考文献要列出。尊重他人工作。

数学是一门工具。模型是使用工具的方式。通过模型。我们理解世界。解决问题。数学专业的学习训练这种能力。毕业论文是展示这种能力的机会。