线性规划是运筹学的一个重要方法。生活中很多问题可以用它解决。工厂安排生产是一个例子。工厂生产两种产品。每种产品需要机器时间和人工。机器每天工作有限时间。工人每天工作有限时间。每种产品利润不同。工厂希望总利润最高。这个问题可以写成数学式子。

设第一种产品生产x件。第二种产品生产y件。生产一件第一种产品需要两小时机器。需要一小时人工。生产一件第二种产品需要一小时机器。需要两小时人工。机器每天最多工作十小时。人工每天最多八小时。第一种产品每件利润三元。第二种产品每件利润四元。目标是利润最大。利润等于三乘以x加上四乘以y。

机器时间有限制。两乘以x加上一乘以y小于等于十。人工时间有限制。一乘以x加上两乘以y小于等于八。产品数量不能是负数。x大于等于零。y大于等于零。这就是完整的线性规划模型。我们需要找到x和y的值。这些值满足所有限制。同时让利润最大。

这种问题可以用图形方法解决。画一个坐标系。横轴代表x。纵轴代表y。先看机器限制。两x加y小于等于十。画直线两x加y等于十。这条线连接点（0,10）和（5,0）。小于等于十代表线下方的区域。再看人工限制。x加两y小于等于八。画直线x加两y等于八。这条线连接点（0,4）和（8,0）。小于等于八代表线下方的区域。还有非负限制。x大于等于零是y轴右侧。y大于等于零是x轴上方。

所有限制必须同时满足。我们需要找这些区域的公共部分。这个公共区域是一个多边形。多边形的顶点很重要。线性规划的最优解通常在顶点出现。多边形的顶点有四个。（0,0）是一个顶点。（5,0）是一个顶点。（0,4）是一个顶点。还有两条直线的交点。解方程组两x加y等于十和x加两y等于八。得到x等于四，y等于二。所以（4,2）是第四个顶点。

计算每个顶点的利润。点（0,0）利润是零。点（5,0）利润是十五。点（0,4）利润是十六。点（4,2）利润是二十。比较这些利润。点（4,2）的利润最高。所以最优解是生产四件第一种产品。生产两件第二种产品。最大利润是二十元。这就是图形解法。图形解法适合两个变量的问题。三个变量可以用三维图形。变量更多图形方法困难。

实际问题变量很多。需要其他解法。单纯形法是常用方法。单纯形法是一个计算过程。它从一个顶点开始。检查相邻顶点。如果相邻顶点更好就移动过去。重复这个过程直到没有更好顶点。这时找到最优解。单纯形法可以计算机实现。它能处理成千上万个变量。单纯形法很强大。它是线性规划的核心算法。

线性规划应用广泛。农业生产计划可以用它。农民有土地。土地可以种小麦或玉米。每种作物需要不同肥料和劳力。每种作物市场价格不同。农民希望收入最高。这个问题可以建立线性规划模型。运输问题也可以用线性规划。货物从几个仓库运到几个商店。每个仓库供应量有限。每个商店需求量已知。运输成本不同。目标是总运输成本最低。这也是线性规划问题。

营养搭配问题也是例子。一个人需要安排饮食。食物有米饭、蔬菜、肉类。每种食物提供不同营养。营养需求有最低标准。食物价格不同。目标是花钱最少同时营养达标。这同样可以写成线性规划模型。投资组合问题同样适用。投资者有资金。资金可以买股票、债券、存款。每种投资有预期收益。每种投资有风险水平。投资者希望收益最大风险最小。可以建立模型平衡收益和风险。

线性规划模型有标准形式。目标函数需要最大化或最小化。限制条件都是线性等式或不等式。变量都是非负的。标准形式方便计算。任何线性规划问题可以化成标准形式。最大化问题可以变成最小化。不等式可以引入松弛变量变成等式。自由变量可以分解成正负部分。

线性规划软件很多。计算机软件可以求解大规模问题。用户输入模型参数。软件自动计算最优解。这些软件用于企业决策。生产计划、物流调度、资源分配都用它。线性规划是管理科学的基础工具。它帮助人们做更好决策。

线性规划理论有对偶概念。每个线性规划问题有另一个问题与之对应。原问题最小化，对偶问题最大化。对偶问题提供新的视角。对偶变量有经济解释。它们代表资源的影子价格。影子价格衡量资源增加带来的价值变化。工厂例子中机器时间的影子价格是多少。人工时间的影子价格是多少。这些信息对管理很有用。

灵敏度分析也是重要内容。模型参数可能变化。产品利润可能变化。资源限制可能变化。灵敏度分析研究这些变化的影响。最优解会不会变化。变化多少仍然保持最优。这帮助决策者了解风险。参数在什么范围内最优解不变。这些信息很实用。

线性规划发展历史很长。二战时期军事问题推动它的发展。乔治·丹齐格提出单纯形法。后来许多学者改进算法。内点法是另一种算法。它从可行区域内部逼近最优解。对于某些问题内点法更快。算法研究一直在进行。

学生学习线性规划从简单例子开始。他们理解基本概念。他们学习建立模型。他们掌握图形解法。他们学习单纯形表计算。他们使用软件求解。他们分析结果。这些技能很有用。

线性规划是运筹学的入门内容。它展示数学如何用于实际问题。它体现优化思想。人们总是希望最好。资源总是有限。线性规划帮助平衡目标和限制。它提供一种系统方法。它让决策更科学。生活中很多选择可以看成优化问题。线性规划是解决这类问题的一个工具。它的核心思想很简单。在约束条件下寻找最佳方案。这个思想适用很多领域。