数学题目中常常出现一个函数问题。这个函数是二次函数。二次函数的形式是y=ax² bx c。a、b、c是常数。a不能为零。它的图像是一条抛物线。抛物线有开口方向。开口方向由a的正负决定。a大于零时开口向上。a小于零时开口向下。抛物线有一个最高点或最低点。这个点叫作顶点。顶点的横坐标是-b/(2a)。纵坐标是(4ac-b²)/(4a)。我们经常研究抛物线在某个区间上的最大值和最小值。这就是最值问题。最值问题在生活中很常见。比如围一块最大面积的菜地。比如计算最低成本。这些问题都可以转化成二次函数的最值问题。

我们看一个具体题目。用一段长20米的篱笆围一个矩形菜地。一面靠墙。另外三面用篱笆。怎么围面积最大。墙的长度足够。设垂直于墙的边长为x米。那么平行于墙的边就是20-2x米。矩形面积S等于长乘以宽。S=x(20-2x)。化简得到S=-2x² 20x。这是一个二次函数。a=-2，b=20，c=0。a小于零。所以抛物线开口向下。函数有最大值。最大值在顶点处取得。计算顶点横坐标。x=-b/(2a)=-20/(2*(-2))=5。面积最大值S=-2*5² 20*5=50。答案是垂直于墙的边长为5米。平行于墙的边长为10米。最大面积是50平方米。这个题目很简单。它直接给出了函数关系。

题目常常会变化。变化让问题更有意思。变化也让我们想得更深。我们改变条件。如果靠墙的两面都需要篱笆呢。如果墙的长度不够呢。如果材料费用不同呢。这些变化让函数形式改变。我们需要重新建立函数关系。建立关系是解决问题的第一步。也是关键的一步。建立关系需要我们仔细读题。找到题目中的数量。找出数量之间的关系。用数学式子表示这种关系。这个过程叫作数学建模。建模是把实际问题变成数学问题。

我们看另一个变化。还是围菜地问题。现在材料费用变化。靠墙的一面每米费用是10元。不靠墙的三面每米费用是15元。总预算固定为300元。问怎么围面积最大。设垂直于墙的边长为x米。平行于墙的边长为y米。不靠墙的三面有两边是x。一边是y。靠墙的一面是y。总费用是15*(2x y) 10*y。这个式子要等于300。化简得到30x 25y=300。可以解出y=(300-30x)/25。面积S=xy。将y代入。得到S=x(300-30x)/25。化简得到S=(-30/25)x² (300/25)x。进一步化简。S=(-6/5)x² 12x。这又是一个二次函数。a=-6/5，b=12。a小于零。有最大值。顶点横坐标x=-b/(2a)=-12/(2*(-6/5))=5。代入求y。y=(300-30*5)/25=6。最大面积S=5*6=30平方米。这个题目多了一步。先要通过费用条件找到x和y的关系。再用这个关系消去一个变量。得到面积关于一个变量的函数。然后求最值。

题目可以继续变化。墙的长度有限制。比如墙只有8米长。那么平行于墙的边长y不能超过8。我们刚才的题目中y=6。小于8。所以不受影响。如果算出来y=10，墙只有8米。那就不行了。这时候最值点可能取不到。我们需要考虑函数的定义域。定义域是变量允许取值的范围。实际问题中定义域由现实条件决定。比如边长必须为正数。比如长度不能超过墙长。定义域往往是一个区间。二次函数在区间上的最值不一定在顶点取得。可能是在区间端点取得。我们需要比较顶点处的函数值和端点处的函数值。顶点可能在区间内。也可能不在区间内。

我们考虑墙长8米的情况。函数还是S=(-6/5)x² 12x。但y必须小于等于8。y=(300-30x)/25≤8。解这个不等式。300-30x≤200。100≤30x。x≥10/3≈3.33。同时x必须为正。另外，篱笆总长也有限制。2x y≤20？这里费用固定，长度不固定。我们只从y≤8和x